Pembuktian Rumus Jarak Antara 2 Titik

Jarak suatu titik terhadap suatu garis merupakan jarak dari titik tersebut terhadap titik yang merupakan perpotongan garis di atas dengan suatu garis yang tegak lurus dengan garis di atas dan memotong titik tersebut di atas (hahahaha, kata-katanya susah dicerna). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:

 

 

 

Persamaan Garis Lurus:

 

Persamaan Garis yang tegak lurus dengan persamaan garis di atas dan memotong titik x1,y1

 

Kedua garis tersebut berpotongan di titik x2,y2 dan dengan memasukkannya ke dalam kedua persamaan garis di atas, didapatkan x2,y2 sebagai fungsi dari x1,y1:

 

 

 

 

 

 

Dari sini, telah diperoleh persamaan untuk titik x2,y2. Jarak antara titik x1,y1 ke garis ax+by+c =0 merupakan jarak antara (x1,y1) dan (x2,y2). Berdasarkan rumus jarak antara dua titik (menggunakan rumus Phytagoras):

Read More

What is Segitiga Pascal? Bagaimana cara membentuknya?

Segitiga pascal merupakan aturan suatu aturan geometri pada koefesien binomial dalam sebuah segitiga. Manfaat dari segitiga pascal ini adalah salah satunya untuk menyelesaikan soal perpangkatan dengan cepat, karena kita tidaklah perlu mengalikan satu persatu  tetapi dari segitiga pascal ini kita langsung mengetahui koefisien dari penyelesaian sebuah soal perpangkatan. Perhatikan skema segitiga pascal berikut.

 

Pola segitiga pascal diatas diperlihatkan hingga pangkat ke 6, dan pola tersebut dapat diteruskan sampai tak terhingga. Untuk mengaplikasikan segitiga pascal diatas perhatikan penjelasan dibawah ini.

(a+b)² = a²+2ab+b²

Perhatikan pola dalam mengerjakan soal pangkat 3 berikut dan perhatikan koefisien untuk pangkat 3 dalam skema segitiga pascal diatas.

(a+b)³ = 1a³bº+3a²b¹+3a¹b²+1aºb³                                        ( perhatikan pola pangkatnya )
           =a³ + 3a²b + 3ab²+ a³

Pola pangkatnya untuk variabel pertama berjalan dari besar kekecil yaitu dari 3,2,1,0 dan untuk variabel kedua berjalan dari kecil ke besar yaitu dari 0,1,2,3.

Perhatikan lagi untuk pangkat 4 berikut ini.
(a+b)⁴ = 1a⁴ bº + 4a³b¹ + 6a²b² + 4a¹ b³ + 1aºb⁴           
           = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Jadi dengan menggunakan pola segitiga pascal ini kita akan menghemat waktu untuk menghitung soal dengan pangakta yang besar. Misal ada soal (a+b)⁸ maka jika kita menghitung secara manual akan memakan waktu dan tenaga yang cukup banyak, karena pasti prosesnya akan panjang. Tetapi dengan adanya segitiga pascal ini kita akan lebih mudah dan lebih cepat menemukan hasilnya, serta mengurangi resiko keliru dalam menghitung.

Read More

Pembuktian Gradien Garis Tegak Lurus

Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.

 

Diberikan 2 garis dan yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal . Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik pada garis dan titik pada garis , seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis adalah dan gradien garis adalah .

Kita akan membuktikan

Ketiga titik , dan   membentuk segitiga siku-siku  dengan sudut siku-siku pada sudut .

Gunakan teorema Pythagoras, diperoeleh

(jarak ke )²+ (jarak ke )²=(jarak ke )²

Silahkan kalian jabarkan sendiri, diperoleh

Dari persamaan terakhir dengan mudah diperoleh

Terbukti  hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

Read More

Kenapa semua bilangan dipangkat 0 sama dengan 1?

Pernah gak sih kalian bertanya kok bisa suatu bilangan jika dipangkatkan 0 hasilnya sama dengan 1?

Nol memang merupakan bilangan yang unik. Kenapa unik? Dia unik karena bilangan berapa pun jika dikalikan dengan 0 maka hasilnya adalah 0 dan bilangan berapa pun jika dijumlahkan dengan 0 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. 

Nah sekarang kok bisa sih suatu bilangan jika dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1?

Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, kita harus tahu terlebih dahulu sifat - sifat dari eksponen atau bilangan berpangkat. Berikut ini sifat - sifat eksponen atau bilangan berpangkat ialah :

     1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

                               n^a x n^b = n^a+b

     2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
                               n^a : n^b = n^a-b

     3. Sifat Pangkat Bilangan Berpangkat
                               (n^a)^b = n^axb

     4. Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan
                               (n x m)^a = n^a x m^a 

     5. Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan
                               (n : m)^a = n^a : m<sup>a
  
Setelah kita tahu sifat - sifat perpangkatan, selanjutnya kita baru bisa membuktikannya. Berikut penjelasannya :

Misalkan suatu bilangan tersebut adalah 2, maka dengan menggunakan sifat - sifat perpangkatan 
didapatkan :
 

Sekarang jika kita misalkan suatu bilangan itu dengan n, maka :
 
Jadi, bisa kita simpulkan bahwa suatu bilangan jika dipangkatkan 0 hasilnya sama dengan 1.

Sekian penjelasannya, semoga bermanfaat terima kasih :)
NOTE !!
Untuk penjelasan lebih lanjut kalian bisa cek di youtube saya dengan link sebagai berikut :

https://youtu.be/JVFkJMnTQUw

#salam matematika</sup>

Read More