Selasa, 10 Desember 2019

Pembuktian Gradien Garis Tegak Lurus

By    07.39 // No comments
Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.
 
Diberikan 2 garis p dan q yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal O(0,0). Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik A(x_1,y_1) pada garis p dan titik B(x_2,y_2) pada garis q, seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis p adalah y_1/x_1 dan gradien garis q adalah y_2/x_2.

Kita akan membuktikan y_{1}/x_{1}\left(y_{2}/x_{2}\right)=-1

Ketiga titik A, O dan  B membentuk segitiga siku-siku  dengan sudut siku-siku pada sudut O.

Gunakan teorema Pythagoras, diperoeleh
(jarak O ke A)²+ (jarak O ke B)²=(jarak A ke B)²
\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}

Silahkan kalian jabarkan sendiri, diperoleh
x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0
y_{2}/x_{2}=-x_{1}/y_{1}

Dari persamaan terakhir dengan mudah diperoleh
y_{1}/x_{1}\cdot\left(y_{2}/x_{2}\right)=y_{1}/x_{1}\cdot\left(-x_{1}/y_{1}\right)=-1

Terbukti  hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)